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对称函数知识点？
一、 函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）
推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
二、 不同函数对称性的探究
定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P'（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P'（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三、 三角函数图像的对称性列表
函 数对称中心坐标对称轴方程y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπy = tan x(kπ/2 ,0 )无
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。
四、 函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）
(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选（C）
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =
解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k +
∴x = － ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A)
例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，
f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
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心理控制缩写？
心理控制术英文简称pua。
《心理控制术》自1960年问世以来，一直伴随着马尔茨博士享誉全球，激励和改变了3000多万读者的生活。作者通过大量案例，包括许多著名奥运选手、职业运动员、教练、高尔夫球手、竞技牛仔、运动心理专家、企业管理人员、推销员、娱乐界人士等的切身经历，阐明了心理控制术在改变人们生活中的神奇作用。在这一专门针对21世纪人们的最新修订版中，作者除了保留原作的核心内容外，又增加了大量最新案例。
21世纪以来课本增加了哪些内容？
国学内容普涨。今秋即将投入使用的语文出版社新课本中，大幅增加了反映中华优秀传统文化的课文比重。一至六年级相关课文约占全部课文的30%； 七至九年级相关课文约占全部课文的40%，每册安排两个单元的古诗文。
今年有望启用的修订版中，曾经在五六年级语文教材才设置的课后练习“古今贤文”，有可能增加到每册课本中。
白鹿原资料？
《白鹿原》是陈忠实的第一部长篇小说，是20世纪中国文学史上的“史诗性”作品，1997年以“修订本”获得第四届茅盾文学奖，被称为“民族灵魂的秘史”。作者撰写本书时，正处于以追求历史、改写历史为宗旨的新历史小说思潮兴盛的年代，这一特质表现为，作品将历史事变、历史思潮落实在普通百姓身上。
《白鹿原》的主要角色来自白、鹿两家，主人公白嘉轩与他第七任妻子仙草共育了三儿一女，分别是白孝文、白孝武、白孝义、白灵，鹿家则为鹿子霖和他的两个儿子鹿兆鹏、鹿兆海。白孝文长大后继任族长，后在田小娥的勾引下逐渐走上歧路，最终染上鸦片，不得不去异乡谋生，后来又机缘巧合下回到家乡担任县长。百灵加入共产党，但死于党内斗争。鹿兆鹏也加入共产党，几次死里逃生，最终离开白鹿原没有再回来。鹿兆海参加革命后，在奉命进攻边区的时候不幸牺牲。小说以关中平原上的白鹿村为历史舞台，以白、鹿一族两支的人物为主人公，将半个世纪以来重大的历史事变，如晚清危机、辛亥革命、军阀混战、抗日战争、解放战争以及关中所经历过的天灾人祸都映射在作品中的舞台上，描写了白鹿村的人民在长达半个世纪的自然与社会事变中的挣扎、奋斗、迷茫与苦痛，论述了自然天性与社会道德之间的冲突、文化承袭与现实变更之间的交战。
《白鹿原》的时间跨度大，结构宏阔，拥有史诗品格。作家善于将秦方言和现代汉语有机组合，语言生动，笔力雄浑。恰当运用修辞，形象化地构建出“白鹿”“鏊子”等含有深刻象征意味和深广意蕴的意象。整部作品将“东方文化的神秘感、性禁忌、生死观同西方文化、文学中的象征主义、生命意识、拉美魔幻现实主义相结合”，从而保持了历史的混沌性和丰富性，使这部偏重于感性和个人性的历史小说，既成为一部家族史、风俗史以及个人命运的沉浮史，也成了一部浓缩性的民族命运史和心灵史。